一道一阶线性微分方程的解,这个积分过程怎么变换出来的?
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4个回答

  • 求微分方程y′+y/x=x+3+2/x的通解.

    先求解方程dy/dx+y/x=0;分离变量得dy/y=-dx/x;积分之得lny=-lnx+lnC₁=ln(C₁/x);

    故得y=C₁/x;用参数变换:将C₁换成x的函数u,即有y=u/x.(1);

    对x取导数得dy/dx=(1/x)(du/dx)-u/x².(2);将(1)和(2)代入原方程得:

    (1/x)(du/dx)-u/x²+u/x²=x+3+2/x

    即有(1/x)(du/dx)=x+3+2/x;

    分离变量得du=(x²+3x+2)dx,

    积分之得u=x³/3+3x²/2+2x+C,代入(1)即得通解为:y=(1/3)x²+(3/2)x+2+C/x.

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