如右图所示，
（1）∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴∠CBA+∠BAC=90°，
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
即∠BAM=90°，
∴OA⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）连接OD交AC于H，
∵D是AC中点，
∴OD⊥AC，AH=[1/2]AC，
∵∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，
∴△OAH≌△ODE，
∴DE=AH=[1/2]AC；
（3）连接AD，
由（2）知△OAH≌△ODE，
∴∠ODE=∠OAH，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH，
即∠FDA=∠FAD，
∴FD=FA，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠FDA+∠GDF=90°，∠DAF+∠DGF=90°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴FG=DF，
∴FG=FA=FD，
∴S△DGF=[1/2]S△ADG，
易证△BCG∽△ADG，
∴S△BCG：S△ADG=（[CG/DG]）2=（[b/a]）2，
∴S△BCG=
2b2S
a2．