解题思路：根据二元函数连续性，可偏导性，可微性及偏导数的连续性之间的关系，即可求解该题．
首先，对于多元函数，可偏导，可微，连续，偏导数连续四者有如下关系：
（1）函数可微⇒函数可偏导；
（2）函数可微⇒函数连续；
（3）函数偏导数连续⇒函数可微；
对于选项A：
f（x，y）在点（x0，y0）处的一阶偏导数连续⇒f（x，y）在点（x0，y0）处可微⇒f（x，y）在点（x0，y0）处连续，都满足上述三个关系，
故A对．
对于选项B：
f（x，y）在点（x0，y0）处可微不一定能推出f（x，y）在点（x0，y0）处的一阶偏导数连续；即③不能推出②，
故B不对．
对于选项C：
f（x，y）在点（x0，y0）处的一阶偏导数存在不一定能推出f（x，y）在点（x0，y0）处连续；即④不能推出①，
故C不对．
对于选项D：f（x，y）在点（x0，y0）处连续不一定能推出f（x，y）在点（x0，y0）处的一阶偏导数存在；即①不能推出④，
故D不对．
故选：A．
点评：
本题考点： 多元函数连续、可导、可微的关系．
考点点评： 本题主要考察二元函数连续性，可偏导性，可微性及偏导数的连续性之间的关系．这是二元函数的一个重点，难点，考生容易将其与一元函数混淆，需特别注意．