Question

（2006•安徽）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（　　）

Answer 1

解题思路：首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A₁B₁C₁是锐角三角形；

然后假设△A₂B₂C₂是锐角三角形，则由cosα=sin（

π

2

−α

）推导出矛盾；

再假设△A₂B₂C₂是直角三角形，易于推出矛盾；

最后得出△A₂B₂C₂是钝角三角形的结论．

因为△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值均大于0，

所以△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值也均大于0，则△A₁B₁C₁是锐角三角形．

若△A₂B₂C₂是锐角三角形，由

sinA2＝cosA1＝sin(

π

2−A1)

sinB2＝cosB1＝sin(

π

2−B1)

sinC2＝cosC1＝sin(

π

2−C1)，

得

A2＝

π

2−A1

B2＝

π

2−B1

C2＝

π

2−C1，

那么，A2+B2+C2＝

π

2，这与三角形内角和是π相矛盾；

若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨设A₂=[π/2]，

则sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范围内无值．

所以△A₂B₂C₂是钝角三角形．

故选D．

点评：

本题考点： 诱导公式的作用．

考点点评： 本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式，同时考查反证法思想．