(1)四边形的形状是矩形;根据题意即是矩形的长与宽的比,即 .
(2)①∵∠POC=∠B′OA′,∠PCO=∠OA′B′=90°,∴△COP∽△A′OB′.
∴ ,即 ,∴CP= ,BP=BC-CP= .
同理△B′CQ∽△B′C′O,∴ ,即 ,
∴CQ=3,BQ=BC+CQ=11.
∴ .
②在△OCP和△B′A′P中,,
∴△OCP≌△B′A′P(AAS).
∴OP=B′P.设B′P=x,
在Rt△OCP中,(8-x)2+62=x2,解得x= .
∴S△OPB′= .
(3)存在这样的点P和点Q,使BP= BQ.
点P的坐标是P1(-9- ,6),P2(- ,6).
【对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求】
过点Q画QH⊥OA′于H,连接OQ,则QH=OC′=OC,
∵S△POQ= PQ•OC,S△POQ= OP•QH,∴PQ=OP.
设BP=x,∵BP= BQ,∴BQ=2x,
如图1,当点P在点B左侧时,
OP=PQ=BQ+BP=3x,
在Rt△PCO中,(8+x)2+62=(3x)2,
解得 ,(不符实际,舍去).
∴PC=BC+BP=9+ ,∴P1(-9- ,6).
如图2,当点P在点B右侧时,
∴OP=PQ=BQ-BP=x,PC=8-x.
在Rt△PCO中,(8-x)2+62=x2,解得x= .
∴PC=BC-BP= ,∴P2(- ,6),
综上可知,存在点P1(-9- ,6),P2(- ,6),使BP= BQ.