Question

数列{an}各项均为正数，首项为a，对任意正整数n，an•an+1=4n2恒成立．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由已知条件利用递推思想依次求出a₂=[2/a]，a₃=4a，再由数列{a_n}为等比数列能求出a的值．

（Ⅱ）由已知条件知

b

1

＝a+

2

a

≤

11

4

(4−1)

，由此能求出实数a的取值范围．

（Ⅰ）∵{a_n}各项均为正数，首项为a，

对任意正整数n，a_n•a_n+1=

4n

2恒成立，∴a•a2＝

4

2＝2，解得a₂=[2/a]，

[2/a•a3＝

42

2＝8，解得a₃=4a，

∵数列{a_n}为等比数列，∴(

2

a)2＝a•4a，

解得a=1或a=-1（舍）．

∴a=1．

（Ⅱ）∵b_n为数列{a_n}的前2n项的和，

对任意正整数n，不等式b_n≤

11

4]（4ⁿ-1）恒成立，

∴b1＝a+

2

a≤

11

4(4−1)，

整理，得：4a²-33a+8≤0，

解得[1/4≤a≤8，

∴实数a的取值范围是[

1

4]，8]．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 本题考查满足等比数列的实数值的求法，考查满足不等式的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．