(2013•威海)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.

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  • 解题思路:(1)根据抛物线对称轴的定义易求A(1,0),B(3,0).所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根.由韦达定理易求b、c的值;

    (2)如图,连接AC、BC,BC交对称轴于点P,连接PA.根据抛物线的对称性质得到PA=PB,则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC,所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可;

    (3)如图2,点D是抛物线的顶点,所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标.

    (1)如图,∵AB=2,对称轴为直线x=2.

    ∴点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0).

    ∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,

    ∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根.

    由韦达定理,得

    1+3=-b,1×3=c,

    ∴b=-4,c=3,

    ∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3;

    (2)如图1,连接AC、BC,BC交对称轴于点P,连接PA.

    由(1)知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3,A(1,0),B(3,0),

    ∴C(0,3),

    ∴BC=

    32+32=3

    2,AC=

    32+12=

    10.

    ∵点A、B关于对称轴x=2对称,

    ∴PA=PB,

    ∴PA+PC=PB+PC.

    此时,PB+PC=BC.

    ∴点P在对称轴上运动时,(PA+PC)的最小值等于BC.

    ∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3

    2+

    10;

    (3)如图2,根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分,抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标,即(2,-1),

    当E、D点在x轴的上方,即DE∥AB,AE=AB=BD=DE=2,此时不合题意,

    故点D的坐标为:(2,-1).

    故答案是:(2,-1).

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题考查了二次函数综合题.解题过程中用到的知识点有:待定系数法求二次函数的解析式,轴对称--两点间距离最短,菱形的性质.解(1)题时,也可以把点A、B的坐标代入抛物线解析式,列出关于系数b、c的方程组,通过解方程组来求它们的值.