解题思路：（1）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．
（2）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的 14或 34，所以分两种情况进行分析；
（1）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．理由如下：
当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，
PA．
∵⊙O的周长为24πcm，
∴弧AP的长为⊙O周长的[1/6]，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等边三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直线BP与⊙O相切．
（2）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的[1/4]或[3/4]，
设点P运动的时间为ts；
当点P运动的路程为⊙O周长的[1/4]时，2π•t=[1/4]•2π•12，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的[3/4]时，2π•t=[3/4]•2π•12，
解得t=9；
∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．
点评：
本题考点： 切线的判定；弧长的计算．
考点点评： 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．