Question

如图所示,在等腰Rt△ABC中,AC=BC,以斜边AB作等边△ABD,使得C、D在AB的同侧；再以CD为边作等边△CDE

Answer 1

延长DC交AB于点F,

因为,AC = BC ,AD = BD ,

所以,C、D都在线段AB的垂直平分线上,

即有：CD⊥AB ,AF = FB ；

因为,DF是等边△ABD的高,则DF平分∠ADB；

可得：∠ADC = ½∠ADB = 30° ,

所以,∠ADE = ∠CDE-∠ADC = 30° = ∠ADC ；

在△AED和△ACD中,ED = CD ,∠ADE = ∠ADC ,AD为公共边,

所以,△AED ≌ △ACD ,

可得：AE = AC ；

因为,CF是等腰Rt△ABC斜边上的高,

所以,CF = AF ,AC = √2CF ；

设 CF = AF = x ,则 AE = AC = √2x ,

因为,CD+CF = DF = √3AF ,

即有：√3-1+x = √3x ,

解得：x = 1 ,

所以,AE = √2x = √2 .