Question

设函数f〔x〕对任意x,y属于R,都有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,且x＞0时,f〔x〕＜0.

Answer 1

(1) 【证明f〔x〕为奇函数,即证明 f(-x)=-f(x)】

f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,将 x=0 ,y=0 代入 ,可得：f(0)=f(0)+f(0),那么 f(0)=0

将 y=-x 代入 f(0)=f(x)+f(-x) =0 那么：f(-x)=-f(x)

因此 f〔x〕为奇函数

(2) 【证明f〔x〕在R上为减函数 ,即证明：当x1＜x2 时候,f(x1)>f(x2)】

先设 x1＜x2 ,由f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕可得:f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1),

∵ x1＜x2,∴ x2-x1>0

由题目中：且x＞0时,f〔x〕＜0 可知：f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)