解题思路：（1）由∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，易得：△BDC∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长；
（2）由BC=BD与∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，可证得：∠ABC=∠ACB，则可求得：AC=AB=4；作辅助线：作DE⊥BC，垂足为点E，即可证得：DE∥AH，又由DE∥PQ，根据平行线分线段成比例定理，即可求得y关于x的函数解析式；
（3）首先求得AQ=AB=4，然后作AF⊥BQ，垂足为点F，即可求得QF与DF的值，由勾股定理即可求得CP的值．
（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴[CD/BD＝
BC
AB]，
∵AB=4，BC=BD=2，
∴CD=1；
（2）∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4，
作AH⊥BC，垂足为点H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．
∴[CE/CH＝
CD
CA]，即[CE/1＝
1
4]．
∴CE＝
1
4，BE＝
7
4．
又∵DE∥PQ
∴[DQ/BD＝
EP
BE]，即[y/2＝
x+
1
4
7
4]，
整理，得y＝
8
7x+
2
7．
定义域为x＞0．
（3）
∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，
∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ，垂足为点F，可得QF＝
y+2
2，DF＝
y−2
2．
∴32−(
y−2
2)2＝42−(
y+2
2)2．
解得y＝
7
2，
∴[8/7x+
2
7＝
7
2]．
解得x＝
45
16，
即CP＝
45
16．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行线分线段成比例．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．