Question

如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=x2+mx+

Answer 1

解题思路：（1）二次函数y=x²+mx+2的图象经过点B，可得B点坐标为（0，2），再根据tan∠OAB=2求出A点坐标，将A代入解析式即可求得函数解析式；

（2）根据旋转不变性可轻松求得C点坐标，由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，设出解析式，代入C点作标即可求解；

（3）由于P点位置不固定，由图可知要分①当点P在对称轴的右侧时，②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，③当点P在y轴的左侧时，三种情况讨论．

（1）由题意，点B的坐标为（0，2），

∴OB=2，

∵tan∠OAB=2，即[OB/OA]=2．

∴OA=1．

∴点A的坐标为（1，0）．

又∵二次函数y=x²+mx+2的图象过点A，

∴0=1²+m+2．

解得m=-3，

∴所求二次函数的解析式为y=x²-3x+2．

（2）作CE⊥x轴于E，

由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，

可得CE=OA=1，AE=OB=2，可得点C的坐标为（3，1）．

由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，

设出解析式为y=x²-3x+c，代入C点作标得1=9-9+c，c=1，

所求二次函数解析式为y=x²-3x+1．

（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，

那么对称轴直线x=[3/2]不变，且BB₁=DD₁=1．

∵点P在平移后所得二次函数图象上，

设点P的坐标为（x，x²-3x+1）．

在△PBB₁和△PDD₁中，∵S_△PBB1=2S_△PDD1，

∴边BB₁上的高是边DD₁上的高的2倍．

①当点P在对称轴的右侧时，x=2（x-[3/2]），得x=3，

∴点P的坐标为（3，1）；

②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，x=2（[3/2]-x），得x=1，

∴点P的坐标为（1，-1）；

③当点P在y轴的左侧时，x＜0，又-x=2（[3/2]-x），

得x=3＞0（舍去），

∴所求点P的坐标为（3，1）或（1，-1）．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题是一道中考压轴题，将解直角三角形、图形的旋转和平移以及点的存在性的探索等问题结合起来，考查了综合应用各种知识解题的能力，思维跳跃较大，有一定难度．