解题思路：将左边的第二类曲面积分转化为三重积分，然后将积分立体区域转化为球面坐标的形式计算三重积分即可证明．
证明：由高斯公式，有
左边积分=
∭
Ω(2xyz2−2xyz2+1+2xyz)dxdydz＝V+2
∭
Ωxyzdxdydz
∵
∭
Ωxyzdxdydz＝
∫2π0sinθcosθdθ
∫a0r3dr
∫a2−r20zdz＝
1
2sin2θ
|2π0⋅
∫a0r3dr
∫a2−r20zdz＝0
∴左边积分=V=右边．
点评：
本题考点： 用高斯公式计算曲面积分．
考点点评： 此题在计算三重积分的时候，也可以用对称性，即：由于Ω关于xoz面对称，又f（x，y，z）=xyz是Ω上关于y的奇函数，故∭Ωxyzdxdydz＝0．