解题思路：（1）取AB中点O，由题意得△ABC是Rt△，O是外接圆心，连接CO，可证得OC∥DB，则[OC/BD＝
CE
DE]，即OC•DE=CE•BD；作CF⊥BE，然后证得∠CBE=∠E=30°，根据等角对等边的性质可得CE=BC，则可得BC•BD=r•ED；
（2）根据勾股定理求出BE，设CE=x，则BC=x，在Rt△BCD中，根据勾股定理求出x，再推得CE为圆的切线，利用切割线定理求出AE的值．
（1）证明：取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分线，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥DB，（内错角相等，两直线平行），
∴[OC/BD=
CE
DE]，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
∵∠D=90°，∠E=30°，
∴∠DBE=60°，
∴∠CBE=[1/2]∠DBE=30°，
∴∠CBE=∠E，
∴CE=BC，
∴BC•BD=r•ED．
（2） BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，
设圆的半径长是r，则OC=OA=r，
∵OC∥DB，
∴△OCE∽△BDE，
∴[OC/BD]=[OE/BE]=[CE/DE]，即[r/3]=[OE/5]=[CE/4]
解得：OE=[5/3]r，CE=[4/3]r．
CH=[OC•CE/OE]=[4/5]r，
∵BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，
∴BH=BD=3，
则HE=2．
∴CD=CH=[4/5]r．
在直角△CHE中，根据勾股定理得：CH2+EH2=CE2，
即（[4/5]r）2+22=（[4/3]r）2，解得：r=[15/8]，
则AE=BE-2r=5-[15/4]=[5/4]．
点评：
本题考点： 切割线定理；直角三角形全等的判定；勾股定理；切线的判定．
考点点评： 本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．
1年前
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