Question

f（x）在[0，+∞）可导，f（0）=0，且其反函数为g（x）．若∫ f(x) 0g(t)dt＝x2

Answer 1

解题思路：根据变上限积分函数的求导法则，以及常微分方程得解法，即可求解本题．

由于

∫f(x)0g(t)dt=x²e^x

等式两边分别对x求导，得：

g[f（x）]f'（x）=2xe^x+x²e^x

因为g（x）是f（x）的反函数，因此有：

g[f（x）]=x；

因此有：

xf'（x）=2xe^x+x²e^x；

当x≠0时，有：

f'（x）=2e^x+xe^x；

等式两边积分得：

f（x）=∫（2e^x+xe^x）dx=（x+1）e^x+C；

由于f（x）在x=0处可导，因此，f（x）在x=0处连续．

于是有：

f（0）=

lim

x→0+f（x）=

lim

x→0+[（x+1）e^x+C]=1+C=0；

因此：C=-1．

于是有：

f（x）=（x+1）e^x-1．

点评：

本题考点： 积分上限函数及其求导；求解微分方程．

考点点评： 本题解法较灵活，根据g[f（x）]=x是本题解题的关键，属于中档题．