解题思路：通过已知条件，让两个函数解析式组成方程组，用b、c表示出各点坐标，通过面积关系，得到底相同高的关系式，最后得到b=-4或[4/3]，这样c=4或[4/9]，舍去不合题意的值．
∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点P，
∴点P的坐标为（-[b/2]，0），根据图形可得b＜0，
即可得到b2-4ac=0，
∵a=1，
∴b2-4c=0，
解得c=
b2
4
∵二次函数与y轴的交点为Q
∴点Q的坐标为（0，c），
∵Q在y=2x+m上，
∴m=c
∴一次函数解析式为y=2x+c
y＝2x+c
y＝x2+bx+c
∴B（2-b，4-2b+
b2
4）
∵S△BPQ=3S△AQP
∴S△ABP=4S△AQP
∴点B的纵坐标与Q的纵坐标的比为4：1，
那么4-2b+
b2
4=b2，
解得b=-4或b=[4/3]（舍去）．
当b=-4时，c=4，
∴二次函数为y=x2-4x+4．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 二次函数与一次函数解析式的常数项都是与y轴的交点．底相同的两个三角形，面积比就是高的比．