网上有过很多解法（当然,结局是在平面的情况下解不出来）.转发两个很好理解的,（两个解法与楼主的格式不完全相同,点的位置不一样,但本质一样）另外,楼主,应该是最后一排中间缺点,不是最旁边缺点吧?如果最角下缺点那肯定有解啦.
一、
很抱歉的告诉你是无解的.证明：
把
○○○○○
○○○○
○○○○○
○○○○○
○○○○○
改成：
○⊙○⊙●
⊙○⊙○
○⊙○⊙○
⊙○⊙○⊙
○⊙○⊙○
连线要从●开始必须依次经过⊙○⊙○⊙……
但是○（包括●）有13个,⊙11个.这样必定有一个○是连不进去的.
第一个答案很好理解,我超喜欢.很像棋盘拿掉两块白色那个题.回答的人真聪明.
二、
这个题目是没的解的,把点阵转化成为2维矢量矩阵
（0,0）（0,1）（0,2）（0,3）（0,4）
（1,0）（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）
（2,0）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）
（3,0）（3,1）（3,2）（3,3）
（4,0）（4,1）（4,2） （4,3）（4,4）
定义点（n,m）n+m为奇数时为奇点,n＋m为偶数时为偶点,则上图24个点中有13个偶点,11个奇点.
显然奇点不能与奇点直接相连,偶点也一样,故不能如题目要求连线.
题目引申开来到首尾相连：
只有当奇点偶点数目相等或相差为1的点阵才能不重复相连.而点数相差为1的点必然不能首尾相连.
如果可以的话,把这几个点设计在一个圆柱上,那就是空间型的问题,一下就解决了.
地址：
三
楼主有空也可以看看数学家 欧拉,在普鲁士城市柯尼斯堡的柯尼斯堡桥游戏,用数学解决网络问题
他从中得出了一个结论描述网络的3个数之间的一个永恒的关系式：
V+R-L=1
V 网络中顶点（即交点）的个数
L 网络中连线的个数
R 网络中区域（即围成的部分）的个数
（证明也很简单,楼主有兴趣自己去搜索一下就知道）
也许对自己的新思路有帮助