Question

过双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线

Answer 1

解题思路：（1）先设出双曲线半焦距，求得渐近线方程，则可求得过F的垂线方程，联立方程求得焦点p的横坐标，推断出在右准线上

（2）根据直线l与双曲线左右支均有交点，判断出该双曲线与其在第一、三象限的渐近线l₁必交于第三象限．即l₁的斜率必大于l的斜率，进而推断出 [b/a]＞[a/b]整理后即可求得a和c的不等式关系，求得离心率的范围．

（1）设双曲线半焦距为c，c＞0，有F（c，0）

该渐近线方程为y=-[b/a]x，则过F的垂线为y=[a/b]（x-c）

联立方程组可解得 x=

a2

c，即在右准线x=

a2

c上．

（2）因为直线l与双曲线左右支均有交点，则该双曲线与其在第一、三象限的渐近线l₁必交于第三象限．

所以l₁的斜率必大于l的斜率，即 [b/a]＞[a/b]，即b² ＞a²，又b²=c²-a²，

所以c²＞2a²

则离心率e=[c/a]＞

2

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线方程中a，b和c的关系，渐近线问题，离心率问题等．