第(1)题打得有点问题吧,应该是AC垂直平面BB1C1C.
(1)如果是要证AC垂直平面BB1C1C
因为ABCD-A1B1C1D1是直棱柱,所以B1B垂直底面ABCD,因此AC垂直BB1.
取AB中点E,连CE.则由AB=2AD=2CD=2可知
ADCE是正方形,从而AC=根号2,BC^2=BE^2+EC^2=2=AC^2,即AC=BC=根号2.
因此有AC^2+BC^2=4=AB^2,即三角形ACB是等腰直角三角形,且角ACB=90度,所以AC垂直CB.
这样,由AC垂直BB1,AC垂直CB即知AC垂直平面BB1C1C.(2)若要一条直线与一个平面平行,只要该直线与平面内的一条直线平行.
注意到要找的这条直线与两个平面都平行,所以它与这两个平面的交线必定平行,因此如果存在,那么直线DP与直线B1C平行.
再来考虑,若DP平行B1C,又因为DC平行B1P,所以四边形DCB1P是平行四边形,因此必有对边相等,从而B1P=CD=1.
这样就找到了直线A1B1上的一点P,PB1=1,注意到此时PB1平行且等于CD,从而四边形CDPB1是平行四边形,因此PD平行B1C,即DP与面BCB1和平面ACB1都平行.