数学题(急需)1/3^2+1/5^2+1/7^2+……+1/(2n+1)^2=?

1个回答

  • 数学归纳法可以证

    也可以如下做 比较有技巧性

    n^2=n(n+1)-n

    1^2+2^2+3^2+.+n^2

    =1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n

    =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

    由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

    所以1*2+2*3+...+n(n+1)

    =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

    [前后消项]

    =[n(n+1)(n+2)]/3

    所以1^2+2^2+3^2+.+n^2

    =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

    =n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

    =n(n+1)[(2n+1)/6]

    =n(n+1)(2n+1)/6

    利用立方差公式

    n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

    =n^2+(n-1)^2+n^2-n

    =2*n^2+(n-1)^2-n

    2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

    3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

    4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

    .

    n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

    各等式全相加

    n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

    n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

    n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

    n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

    3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

    =(n/2)(n+1)(2n+1)

    1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

    另外一个很好玩的做法

    想像一个有圆圈构成的正三角形,

    第一行1个圈,圈内的数字为1

    第二行2个圈,圈内的数字都为2,

    以此类推

    第n行n个圈,圈内的数字都为n,

    我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r

    下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形

    再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形

    然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,

    我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1

    而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和

    1+2+……+n=n(n+1)/2

    于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)

    r=n(n+1)(2n+1)/6