已知,点P是正方形ABCD内的一点,连接PA,PB,PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图).

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  • 解题思路:(1)依题意,将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合,此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积,根据旋转的性质可知,两个扇形的中心角都是90°,可据此求出阴影部分的面积.

    (2)连接PP',根据旋转的性质可知:BP=BP',旋转角∠PBP'=90°,则△PBP'是等腰直角三角形,∠BP'C=∠BPA=135°,∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°,可推出△PP'C是直角三角形,进而可根据勾股定理求出PC的长.

    (1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,

    ∴△PAB≌△P'CB,

    ∴S△PAB=S△P'CB

    S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=[π/4](a2-b2);

    (2)连接PP′,根据旋转的性质可知:△APB≌△CP′B,

    ∴BP=BP′=4,P′C=PA=2,∠PBP′=90°,

    ∴△PBP'是等腰直角三角形,P'P2=PB2+P'B2=32;

    又∵∠BP′C=∠BPA=135°,

    ∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°,即△PP′C是直角三角形.

    PC=

    P′P2+P′C2=6.

    点评:

    本题考点: 扇形面积的计算;正方形的性质;旋转的性质.

    考点点评: 本题运用旋转知识,将不规则的阴影部分转化为两个扇形面积差,又利用旋转将线段、角进行转化,达到解题的目的.