Question

已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求：

Answer 1

解题思路：（1）连接AB₁，由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影，故∠C₁AB₁就是AC₁与平面AA₁B₁B所成的角，由此能求出直线AC₁与平面AA₁B₁B所成的角．

（2）过B作BE⊥AC，垂足为E，连接ED，由△ABC₁≌△ADC₁，知∠BAC₁=∠DAC₁，由AB=AD，∠BAC₁=∠DAC₁，AE=AE，知△ABE≌△ADE，由此能求出二面角B-AC₁-D的大小．

（3）

V

ABD

C

1

＝

V

C

1

−ABD

＝

1

3

S

△ABD

•C

C

1

，由此能求出四面体ABDC₁的体积．

（1）连接AB₁，∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，

∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影，

∴∠C₁AB₁就是AC₁与平面AA₁B₁B所成的角，

在△C₁AB₁中，tan∠C1AB1＝

1

5，

∠C1AB1＝arctan

5

5，

∴直线AC₁与平面AA₁B₁B所成的角为arctan

5

5．

（2）过B作BE⊥AC，垂足为E，连接ED，

∵△ABC₁≌△ADC₁，∴∠BAC₁=∠DAC₁，

∵AB=AD，∠BAC₁=∠DAC₁，AE=AE

∴△ABE≌△ADE，

∴∠AEB＝∠AED＝

π

2

∴∠BED是二面角B-AC₁-D的平面角，

在△BED中，BE＝ED＝

30

6，BD＝

2，cos∠BED＝−

1

5，

∴∠BED＝π−arccos

1

5

∴二面角B-AC₁-D的大小为π−arccos

1

5．

（3）

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角面积的求法，考查四面体体积的求法，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．