解题思路:1、本题可根据三角形全等证得DE=AF,AD=EF,即可知四边形ADEF是平行四边形
2、要使四边形ADEF是矩形,必须让∠FAD=90°,则∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°
证明:(1)∵等边△ABD、△BCE、△ACF,
∴DB=AB,BE=BC.
又∠DBE=60°-∠EBA,
∠ABC=60°-∠EBA,
∴∠DBE=∠ABC.
∴△DBE≌△CBA.
∴DE=AC.
又∵AC=AF,
∴AF=DE.
同理可证:△ABC≌△FCE,证得EF=AD.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)假设四边形ABCD是矩形,
∵四边形ADEF是矩形,
∴∠DAF=90°.
又∵等边△ABD、△BCE、△ACF,
∴∠DAB=∠FAC=60°.
∴∠BAC=360-∠DAF-∠FAC-∠DAB=150°.
当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
点评:
本题考点: 平行四边形的判定;等边三角形的性质;矩形的判定.
考点点评: 此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定.