解题思路:(1)由直线l与圆相切于点A,且AB为圆的直径,根据切线的性质得到AB垂直于直线l,又PC垂直于直线l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到AB与PC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似,由相似得比例,将PC及直径AB的长代入求出PA的长,在直角三角形PAB中,由AB及PA的长,利用勾股定理即可求出PB的长;
(2)过O作OE垂直于PD,与PD交于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形,根据矩形的对边相等,可得出EC=OA=2,用PC-EC的长表示出PE,根据PD=2PE表示出PD,再由PC-PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到关于x的二次函数,配方后根据自变量x的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.
(1)∵⊙O与直线l相切于点A,且AB为⊙O的直径,
∴AB⊥l,又∵PC⊥l,
∴AB∥PC,
∴∠CPA=∠PAB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠APB=90°,又PC⊥l,
∴∠PCA=∠APB=90°,
∴△PCA∽△APB,
∴[PC/AP]=[PA/AB],即PA2=PC•AB,
∵PC=[5/2],AB=4,
∴PA=
5
2×4=
10,
∴Rt△APB中,AB=4,PA=
10,
由勾股定理得:PB=
16−10=
6;
(2)过O作OE⊥PD,垂足为E,
∵PD是⊙O的弦,OE⊥PD,
∴PE=ED,
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°,
∴四边形OACE为矩形,
∴CE=OA=2,又PC=x,
∴PE=ED=PC-CE=x-2,
∴PD=2(x-2),
∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=x-2x+4=4-x,
∴PD•CD=2(x-2)•(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2,
∵2<x<4,
∴当x=3时,PD•CD的值最大,最大值是2.
点评:
本题考点: 切线的性质;二次函数的最值;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 此题考查了切线的性质,平行线的性质,矩形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,以及二次函数的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.