Question

设函数f（x）=x2+xsinx，对任意x1，x2∈（-π，π），若f（x1）＞f（x2），则下列式子成立的是（　　）

Answer 1

解题思路：由于f（-x）=f（x），故函数f（x）=x²+xsinx为偶函数，则f（x₁）＞f（x₂）⇔f（|x₁|）＞f（|x₂|），f′（x）=2x+sinx+xcosx，当x＞0时，f′（x）＞0，从而可得答案．

∵f（-x）=（-x）²-xsin（-x）=x²+xsinx=f（x），

∴函数f（x）=x²+xsinx为偶函数，

∴f（-x）=f（|x|）；

又f′（x）=2x+sinx+xcosx，

∴当x＞0时，f′（x）＞0，

∴f（x）=xsinx在[0，π]上单调递增，

∵f（x₁）＞f（x₂），

∴结合偶函数的性质得f（|x₁|）＞f（|x₂|），

∴|x₁|＞|x₂|，

∴x₁²＞x₂²．

故选B．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数f（x）的奇偶性与单调性，得到f（x）为偶函数，在[0，π]上单调递增是关键，考查分析转化能力，属于中档题．