抛物线y^2=2px(p>0)有一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条边所在直线方程为y=2x,斜边长为5√13.求此抛物线方程.
∵设抛物线的内接三角形是△OAB,且A在直线y=2x上,则B一定在直线y=-x/2上.
联立:y=2x、y^2=2px,消去y,得:4x^2=2px,∴x=0,或x=p/2.
显然,点A的横坐标是p/2,∴点A的纵坐标是p.
再联立:y=-x/2、y^2=2px,消去y,得:x^2/4=2px,∴x=0,或x=8p.
显然,点B的横坐标是8p,∴点B的纵坐标是16p.
依题意,有:|AB|=5√13,∴√[(p/2-8p)^2+(p-16p)^2]=5√13,
∴√[(15/2)^2+15^2]p=5√13,∴(15/2)√(1+4)p=5√13,∴p=2√65/15.
∴满足条件的抛物线方程是y=(4√65/15)x.