Question

椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1（a>0,b>0）上总存在点p,使→pf1*→pf2=0,其中f1,f2是椭圆的焦

Answer 1

椭圆x2/a2+y2/b2=1上总存在点P,使向量PF1*向量PF2=0,其中F1,F2是椭圆的焦点,那么椭圆的离心率的取值范围是

不妨设a>b>0,满足向量PF1*向量PF2=0的点P的轨迹方程为x2+y2=a2-b2①

与椭圆方程x2/a2+y2/b2=1②联立得x2=a2-a2b2/(a2-b2),

当a2-a2b2/(a2-b2)≥0时有解,即 b2/a2≤1/2.

e=c/a,e2=c2/a2=(a2-b2)/a2=1-b2/a2≥1-1/2=1/2

因为e＞0,所以e≥√2/2.