数列与数学归纳法综合题:在1与9之间插入2n-1个正数,使1,a1,a2...a(2n-1),9成等比数列

1个回答

  • 已知f(n)=a1*a2*a3...*a(2n-1) 则f(n)*f(n)= a1*a2*a3...*a(2n-1) * a(2n-1)*a(2n-2)*……*a1

    =(a1*a(2n-1))*(a2*a(2n-2))……*(a(2n-1)*a1)

    =(1*9)*(1*9)……(1*9)*(1*9) (2n-1个)=9^(2n-1)

    => f(n)=3^(2n-1)又知g(n)=b1+b2+b3.+b(2n-1)则

    g(n)+g(n)= b1+b2+...+b(2n-1) + b(2n-1)+b(2n-2)+……+b1

    =(b1+b(2n-1))+(b2+b(2n-2))……+(b(2n-1)+b1)

    =(1+9)+(1+9)……+(1+9) (2n-1个)

    =10*(2n-1)=> g(n)=5(2n-1) (2)设F(n)=9*f(n)+4*g(n)+17 则由上问得F(n)=9*3^(2n-1)+4*5(2n-1)+17 =3^(2n+1)+40n-3若存在最大自然数m,使对于n∈正整数都有F(n)被m整除则当n=1时,F(n)被m整除也成立而F(1)=3^(2*1+1)+40*1-3=64 则能整除F(n)的最大自然数m为64现在只要证明 F(n)=3^(2n+1)+40n-3 能被64整除就可以了 F(n)=3^(2n+1)+40n-3 =(4-1)^(2n+1)+40n-3用二次项定理展开(4-1)^(2n+1)将含有4^3 即64 因子的项忽略(他们的代数和一定能被64整除),剩下的部分是 -n(2n+1)*16 + 4(2n+1) -1 = -32n^2-16n+8n+4-1 = -32n^2-8n+3则 F(n) =(4-1)^(2n+1)+40n-3 中将含有4^3 即64 因子的项忽略,剩下的部分是-32n^2-8n+3 + 40n-3 = -32n^2-32n = -32n(n-1)由于n(n-1)必为偶数,即含有因数2

    所以 -32n(n-1)能被64整除 即对于n∈正整数都有F(n)被64整除最大自然数m为64 题比较繁琐,不懂欢迎追问!