Question

在三角形ABC中,若a平方＝b(b c),求证A＝2B

Answer 1

因为 a^2=b(b+c),

(sinA)^2=(sinB)^2+sinBsinC,

(sinA)^2=(sinB)^2+sinBsin(A+B)

所以 (sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinBsin(A+B)

所以 4sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]*cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]=sinBsin(A+B)

(此处用到了和差化积的公式:sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]

sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2] )

所以 sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B)

所以 sin(A-B)=sinB

所以 A=2B

另法：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc),a^2=b(b+c),

则cosA=(b^2+c^2- b(b+c))/(2bc)=c/(2b) -1/2=sinC/(2sinB) -1/2,

所以2cosA sinB=sin(A+B)- sinB,

sin(A+B)- 2cosA sinB= sinB,

sinAcosB+cosA sinB- 2cosA sinB= sinB,

sinAcosB- cosA sinB= sinB,

sin(A-B) = sinB,

A-B= B,

A= 2B.