解题思路：（1）由f（x）=ax+1nx（a∈R），知当a=2时，
f
′
(x)＝2+
1/x]，x＞0，由此能求出曲线在x=1处切线的斜率．
（2）由g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），知f（x）max＜g（x）max，由此进行根据a的符号进行分类讨论，能求出a的取值范围．
（1）∵f（x）=ax+1nx（a∈R），
∴当a=2时，f′(x)＝2+
1
x，x＞0，
∴f′（1）=2+1=3，
故曲线在x=1处切线的斜率为3．
（2）∵g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），
∴f（x）max＜g（x）max，
∵g（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，x∈[0，1]，
∴g（x）max=2．
当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意；
当a＜0时，f（x）在（0，-[1/a]）上单调递增，在（-[1/a]，+∞）上单调递减，
故f（x）max=f（-[1/a]）=-1+ln（-[1/a]）=-1-ln（-a），
∴-1-ln（-a）＜2，
解得a＜-[1
e3．
故a的取值范围是（-∞，-
1
e3）．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查切线的斜率的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
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