如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D

2个回答

  • 设抛物线y=a(x+1)(x-3),

    将(0.-3)代人,得,

    a=1,

    所以抛物线为y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4,

    所以抛物线的顶点为(1,-4),

    由两点距离公式,得

    BC=3√2,CD=√2,BD=2√5,

    BC^2+CD^2

    =18+2=20=BD^2

    所以△BCD是直角三角形,∠BCD=90°,

    因为BC/CD=OC/AO=3

    所以△ACO和△BCD相似,

    过A作AP⊥AC交抛物线于P,过P作x轴垂线,垂足为Q

    因为∠PAB=∠ACO=∠CBE,

    所以只要满足AP/PQ=3即可,

    设P(x,y),因为P在抛物线上,所以y=x^2-2x-3,

    AP=AO+OP=1+x,

    所以1+x=3(x^2-2x-3),

    解得x1=-1,x2=10/3

    所以P(10/3,13/9)

    若以AC为直径作圆,与抛物线没有交点,所以没有直角三角形,

    若果C作垂线,要想与△BCD相似,则P(9,0),但不在抛物线上,

    所以符合条件的P点为(10/3,13/9)