过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP AQ,P Q为切点,设切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2

1个回答

  • 分析:

    1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(xo,yo)

    则有x1+x2=2xo,y1+y2=2yo

    对方程y=x^2+1求导y'=2x

    则有k1=2x1,k2=2x2

    可设两切线方程为

    AP:y=2x1(x-x1)+y1.(1)

    AQ:y=2x2(x-x2)+y2.(2)

    又y1=x1^2+1.(3)

    y2=x2^2+1.(4)

    联立4式易解得交点A坐标

    xA=(x1+x2)/2=xo=a

    yA=x1x2+1=0

    得到x1x2=-1

    那么k1*k2=4x1x2=-4(得证)

    2)由(3)(4)可得PQ斜率(一定存在)

    k(PQ)=(y1-y2)/(x1-x2)=x1+x2=2xo=2a

    则PQ方程可设为

    y=2xo(x-xo)+yo=2xox-2xo^2+yo.(5)

    又2yo=y1+y2

    =x1^2+x2^2+2

    =(x1+x2)^2-2x1x2+2

    =4xo^2+4

    有yo=2xo^2+2

    则(5)可写为

    y=2xox+2或y=2ax+2

    易知直线PQ过定点N(0,2).

    3)A(a,0)到直线PQ:2ax-y+2=0的距离

    d=2|a^2+1|/sqrt(1+4a^2)

    令1/(a^2+1)=t,0