Question

已知函数f（x）=[1/2]ax2+（1-a）x-lnx（a＞-1）；

Answer 1

解题思路：（I）由函数的解析式求出函数的定义域，再利用导数的符号求出函数的单调区间．

（Ⅱ）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，等价于f（x）_min＜0．分当a≥0时和当-l＜a＜0时，两种情况，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．

（I）函数定义域为（0，+∞），f′(x)＝ax+1−a−

1

x＝

(ax+1)(x−1)

x，

当a≥0时，

x （0，1） 1 （1，+∞）

f′（x）- 0+故f（x）在（0，1）上递减，（1，+∞）上递增．

当-1＜a＜0时，f′(x)＝

(ax+1)(x−1)

x＝

−a

x(x+

1

a)(x−1)，

x（0，1）1(1，−

1

a)−

1

a(−

1

a，+∞)

f′（x）-0-0-即f（x）在（0，1），(−

1

a，+∞)递减，在(1，−

1

a)上递增．

（Ⅱ）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，等价于f（x）_min＜0．

当a≥0时，f(x)min＝f(1)＝

a

2+1−a＜0⇒a＞2，

当-l＜a＜0时，当x→+∞时，

1

2ax2+(1−a)x→−∞，-lnx→-∞，

则f（x）→-∞，显然存在x₀，使f（x₀）＜0，

综上，a∈（-1，0）∪（2，+∞）．

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，属于基础题．