小球到达最高点,则根据光滑轨道上无摩擦运动机械能守恒可知,此时动能完全转化为势能.也就是说速度为零.
假设轨道与水平面夹角为θ,则小球在斜面上的加速度a=-gsinθ(负号表示加速度方向与初速度方向相反.),小球速度为零,到达斜面所能到达的最高点的时间Δt=Vo/a=Vo/gsinθ.
依据题意,可知道在各个斜面上小球的初速度Vo均可表示为运动时间与斜面倾角之间的关系：Vo=gΔtsinθ.
根据运动学公式,小球在各自斜面上前进的距离S=[(Vt)²-(Vo)²]/2a=g²(Δt)²sin²θ/2gsinθ=0.5gsinθ(Δt)².
而各个小球上升的最大高度H=Ssinθ=0.5gsin²θ(Δt)²,所以,竖直方向上,各个小球之间的高度比应该是sin²θ,而水平距离之比则是sinθcosθ∝sin2θ.
换句话说,如果有三个斜面,它们与水平面之间的倾角分别是α、β、γ,则三个小球之间的高度比试：sin²α:sin²β:sin²γ,而它们之间水平距离之比是：sin2α:sin2β:sin2γ.
★圆方程是(x-a)²+(y-b)²=r²,只要各小球最后的位置坐标满足上式,也就说明了它们是在同一圆周上.现在,我们可以检验三个点,也就是倾角分别为α、β、γ的时候,三种情况刚好对应三个坐标,代入圆方程求解a、b、r,只要这三个数是实数,则证明三点在同一圆周上,而由于这三个“特殊”的点都没有代特定的角度,所以又具有全面的代表性,从而可推出所有小球的最高位置都在一圆周上.像【胡123123321】那样证明是不可以的,它只代了一个点,而这个点的H=Ssinθ,L=Scosθ,H²+L²=S²这是肯定的,勾股定理嘛,但这并不能说明所有的最高点都在同一圆周上.
[0.5gsin²α(Δt)²-a]²+[0.5gsinαcosα(Δt)²-b]²=r²
[0.5gsin²β(Δt)²-a]²+[0.5gsinβcosβ(Δt)²-b]²=r²
[0.5gsin²γ(Δt)²-a]²+[0.5gsinγcosγ(Δt)²-b]²=r²
联立三式求解a、b、r即可证明它们是否在同一圆周了.
当然,你也可以采用几何法证明,假设α、β、γ对应的最高三点为A、B、C,只要证明AB、AC、BC的中垂线相交于一点,也可以达到证明的目的.