Question

计算曲面z=xy被柱面x²+y²=R²割下一部分的面积

Answer 1

∵αz/αx=y,αz/αy=x

∴√[1+(αz/αx)^2+(αz/αy)^2]=√(1+x^2+y^2)

故 所求面积=∫∫√[1+(αz/αx)^2+(αz/αy)^2]dxdy (S表示圆域：x^2+y^2≤R^2)

=∫∫√(1+x^2+y^2)dxdy

=∫dθ∫√(1+r^2)rdr (作极坐标变换)

=2π[(1+R^2)^(3/2)-1]/3.