Question

已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,点F1,F2分别是椭圆的左右焦点,

Answer 1

由题意得：右准线a^2/c=2 (a>0,c>0)

线段PF1中点坐标为((2-c)/2,3^0.5/2),设为点Q

由PF1·QF2=0得,3c^2+4c-7=0

∴c=1,a=2^0.5,b=1

椭圆方程为x^2/2+y^2=1

(2)设Q点(xq,yq)

x^2/2+y^2=1

y=kx+m

联立得(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-2=0

△>0

向量OA+向量OB=(xa+xb,ya+yb)

(xa+xb,ya+yb)=(-4km/(2k^2+1),2m/(2k^2+1))

要使得向量OA+向量OB=x向量OQ

则(-4km/(2k^2+1),2m/(2k^2+1))=X(xq,yq)

∵Q点在椭圆上

∴点(-4km/(2k^2+1)X,2m/(2k^2+1)X)也在椭圆上,代入椭圆方程得

X^2=4m^2/(2k^2+1)

又∵△>0

∴2k^2+1>m^2

代入X^2,解得X∈(-2,2)