默认你熟悉同余的语言和基本性质, 这样可以写得简单点.
假设你知道Fermat小定理: 若p是质数, 且不整除a, 则a^(p-1) ≡ 1 (mod p).
然后这类问题有个常用的引理:
若正整数a, b, x, y满足a^x ≡ a^y ≡ 1 (mod b), 设d = (x,y) (最大公约数), 则a^d ≡ 1 (mod b).
证明不难: ∵存在正整数u, v使ux-vy = d, ∴a^(vy+d) = a^(ux) ≡ 1 ≡ a^(vy) (mod b).
而易见(a,b) = 1, 提出与b互质的a^(vy), 即得a^d ≡ 1 (mod b).
再做一点准备工作, 证明2^(3^k)+1被3^(k+1)恰好整除 (即被3^(k+1)整除, 但不能被3^(k+2)整除).
k = 0, 1时可验证成立, 然后由2^(3^(k+1))+1 = (2^(3^k)+1)³-3·2^(3^k)·(2^(3^k)+1)归纳即得.
回到原题.
∵n是正整数, ∴2^n+1为奇数, ∴n也是奇数.
∵n > 1, 可设n的最小质因数为p > 2.
可得2^(p-1) ≡ 1 (mod p) (Fermat小定理).
∵(2^n+1)/n²为整数, ∴2^n ≡ -1 (mod p), ∴2^(2n) ≡ 1 (mod p).
而∵p是n的最小质因数, ∴(2n,p-1) = 2, 由引理得2² ≡ 1 (mod p), 即p = 3.
设n = 3^k·m, k ≥ 1且3不整除m.
∵(2^n+1)/n²为整数, ∴2^n ≡ -1 (mod 3^(2k)), ∴2^(2n) ≡ 1 (mod 3^(2k)).
又∵已证3^(2k) | 2^(3^(2k-1))+1, 即2^(3^(2k-1)) ≡ -1 (mod 3^(2k)),
∴2^(2·3^(2k-1)) ≡ 1 (mod 3^(2k)).
而∵k ≥ 1, ∴(2n, 2·3^(2k-1)) = 2·3^k, 由引理得2^(2·3^k) ≡ 1 (mod 3^(2k)).
2^(2·3^k)-1 = (2^(3^k)-1)(2^(3^k)+1).
已证2^(3^k)+1被3^(k+1)恰好整除, 故2^(3^k)-1 = (2^(3^k)+1)-2不被3整除.
∴2^(2·3^k)-1也被3^(k+1)恰好整除, 由3^(2k) | 2^(2·3^k)-1, 只有k = 1, n = 3m.
若m = 1, 可验证(2^n+1)/n²为整数.
若m > 1, 可设m的最小质因数为q > 3.
可得2^(q-1) ≡ 1 (mod q) (Fermat小定理).
∵(2^n+1)/n²为整数, ∴2^n ≡ -1 (mod q), ∴2^(2n) ≡ 1 (mod q).
而∵n = 3m, q是m的最小质因数, ∴(2n,q-1) = 2或6.
由引理得2^6 ≡ 1 (mod q), 但q > 3, 只有q = 7.
但2^n = 2^(3m) = 8^m ≡ 1 (mod 7), 与2^n ≡ -1 (mod q)矛盾.
于是只有n = 3满足要求.
证明也许绕了远路, 有疑问或改进意见欢迎追问.