Question

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是Ax=0的解，即Aβ≠0．

Answer 1

解题思路：向量组x₁，…，x_m线性无关的充要条件是：

若存在一组常数k₁，…，k_m，使得k₁x₁+…+k_mx_m=0，

则必有k₁=…=k_m=0．

假设存在一组常数k，k₁，…，k_t，使得：

kβ+

t

i＝1ki(β+αi)=0，

即：(k+

t

i＝1ki)β=

t

i＝1(−ki)αi．①，

①上式两边同时乘以矩阵A，则有

(k+

t

i＝1ki)Aβ=

t

i＝1(−ki)Aαi．

因为：α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，

所以：Aα_i=0，故有

(k+

t

i＝1ki)Aβ=0，

又因为：Aβ≠0，

所以：k+

t

i＝1ki=0，②，

将②代入①式左端，得：

t

i＝1(−ki)αi=0．

因为：α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，

所以：α₁，α₂，…，α_t是线性无关，

从而：k₁=…=k_t=0，

将上式又代入②式得：

k=−

t

i＝1ki=0，

所以：k=k₁=…=k_t=0，

因此，向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关，证毕．

点评：

本题考点： 向量组线性无关的判定与证明．

考点点评： 本题主要考查了向量组线性无关的判定与证明、基础解系的概念与性质；解题的关键在于熟练利用以下定理：向量组x1，…，xm线性无关⇔若存在一组常数k1，…，km，使得k1x1+…+kmxm=0，则必有k1=…=km=0．