Question

如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.

Answer 1

（1）略

（2）证明略

（3）理由略

（1）作出圆心O， …………………………………………………1分

以点O为圆心，OA长为半径作圆.…………………………………………1分

（2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD="90°."

∴AD是⊙O的直径……………1分

连结OC，∵∠A=∠B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA="OC,"

∴∠ACO=∠A =30°,…………1分

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO ="120°-30°=90°. "

∴BC⊥OC,

∴BC是⊙O的切线. ……………………………………………1分

（3）存在. ……………………………………………………………………………1分

∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,

∴∠BCD=∠B, 即DB=DC.

又∵在Rt△ACD中，DC=AD

, ∴BD=

.

解法一：①过点D作DP1// OC，则△P1D B∽△COB,

，

∵BO=BD+OD=

,

∴P1D=

×OC=

×

=

.……………………………1分

②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴

，

∵BC＝

∴

.………………………………………1分

解法二：①当△B P1D∽△BCO时，∠DP1B=∠OCB=90°.

在Rt△B P1D中，

DP1=

.………………1分

②当△B D P2∽△BCO时，∠P2DB=∠OCB=90°.

在Rt△B P2D中，

DP2=

.……………1分