Question

（2014•贵阳模拟）如图，AP是圆O的切线，A是切点，AD⊥OP与D点，过点P作圆O的割线与圆O相交于B，C两点

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用射影定理，可得AP²=PD•PO，利用切割线定理，AP²=PB•PC，从而可证明△DPB∽△CPO，可得∠PDB=∠PCO，即可证明O，D，B，C四点共圆；

（Ⅱ）连接OB，O，D，B，C四点共圆，求出∠PDB=∠OCB=50°，即可求∠DBC的大小．

（Ⅰ）证明：∵AP是圆O的切线，A是切点，

∴OA⊥AP，

∵AD⊥OP，

∴AP²=PD•PO，

∵AP是圆O的切线，PBC是圆O的割线，

∴AP²=PB•PC，

∴PD•PO=PB•PC，

∴[PD/PC＝

PB

PO]，

∵∠DPB=∠CPO，

∴△DPB∽△CPO，

∴∠PDB=∠PCO，

∴O，D，B，C四点共圆．

（Ⅱ）连接OB，则∠OBC=∠ODC=40°，

∴∠OCB=50°，

∵O，D，B，C四点共圆，

∴∠PDB=∠OCB=50°，

∴∠DBC=30°+50°=80°．

点评：

本题考点： 与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．

考点点评： 本题考查圆內接多边形的性质与判定，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．