已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜你时，f（ - 知识问答

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜你时，f（x）＞人，且对任意的x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立

1个回答

解题思路：先通过等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，得出当且仅当x=0时有f（0）=1，由已知，由
f(
a
n+1
)＝
1
f(−2−
a
n
)
，得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1=f（0）所以a_n+1-2-a_n=0，即a_n+1=2+a_n，判断出数列{a_n}是等差数列，利用通项公式求解即可．
在f（x）f（y）=f（x+y）中取x=-q，y=手，得出f（-q）f（手）=f（-q），当x＜手时，f（x）＞q，所以f（手）=q．
当x＞手时，f（x）f（-x）=f（手）=q，f（x）=
q
f(−x)∈（手，q）．
又a_q=f（手）=q，
由f(an+q)＝
q
f(−2−an)，得f（a_n+q）f（-2-a_n）=q=f（手）所以a_n+q-2-a_n=手，即a_n+q=2+a_n
所以数列{a_n}是以q为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为a_n=q+2（n-q）=2n-q，
所以a_2手qq=4手2q．
故答案为：4手2q．
点评：
本题考点：数列递推式．
考点点评：本题是函数与数列的综合，考查赋值法、转化构造法、用到了等差数列的判定、通项公式求解及应用．

相关问题