你的问题很有代表性,很多学生都没搞清楚.依次回答如下：
1）dy = f‘(x)△x 这公式不是推导的,是定义：若 △y = f(x+△x)-f(x) 可以表示为
△y = f‘(x)△x+o(△x),
则称 f(x) 在点x 处可微,且记微分为
dy = f‘(x)△x.
“为什么当 y=x 时才有dy=f’(x)dx?” 这个问题本身就问错了,问题应该是：当 x 是自变量时有△x = dx.这是因为,取 y = x,则如上,有
dx = dy = 1*△x = △x,
这样,就有
dy = f‘(x)△x =f’(x)dx.
2）在求导公式 dy/dx=f‘(x) 中,dy 是 y 的微分,dx 是 x 的微分.
3）{f[g(x)]}' = f’[g(x)]*g'(x),这就是区别.
4）f(x) 的二阶导数是 [(d^2)f]/(dx)^2,意即
d(df/dx)/dx,
可形象的记为
d(df) = (d^2)f,dx*dx = (dx)^2,
这就是为什么不是d^2f/d^2x!