Question

一个等价无穷小的证明：x趋于0时,（1+x）^(1/n)-1等价于x/n的证明过程中,（1+x）^(1/n)-1等于一个

Answer 1

一般情形应该是这样的,当x→0时,有(1+x)^a-1~ax

令(1+x)^a-1=T,则(1+x)^a=T+1

两边取对数,得 aln(1+x)=ln(T+1)

因为当x→0时,有x~ln(1+x)

所以考虑

lim【x→0】[(1+x)^a-1] / ax

=lim【x→0】[(1+x)^a-1] / [aln(1+x)]

=lim【T→0】T/ln(1+T)

=1

从而有当x→0时,有(1+x)^a-1~ax,取a=1/n就是你要的结论了!