Question

已知f(x)=a•2x+a-22x+1（x∈R），若f（x）满足f（-x）=-f（x），

Answer 1

解题思路：（1）由f（0）=0可得a值；（2）可得函数为增函数，用定义法证明即可．

（1）由题意可取x=0代入可得f（0）=-f（0），即f（0）=0，

故f(0)=

a•20+a-2

20+1=a-1=0，解得a=1；

（2）由（1）知，函数f(x)=

2x-1

2x+1，可得函数为R上的增函数，

证明如下：∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1-

2x2-1

2x2+1=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)，

∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，

故

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

故函数为R上的增函数

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值．

考点点评： 本题考查函数的单调性的判断与证明，以及属的奇偶性，属基础题．