Question

已知n（n∈N*）满足3Cn−5n−1＝5P2n−2，整数a是413+C113412+C213411+…+C12134除

Answer 1

解题思路：（1）运用组合数公式和排列数公式，求出n=9，再由二项式定理求得a=4；

（2）根据二项式系数的性质，中间项的二项式系数最大，即第5、6项均为所求；

（3）运用二项式定理展开，合并，再由函数y=xⁿ+

1

x

n

（n为正整数）在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，即可得到最小值．

（1）3

Cn−5n−1＝5

P2n−2，即为3

C4n−1=5（n-2）（n-3），

3•

(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)

24=5（n-2）（n-3），即n²-5n-36=0，

解得，n=9（-4舍去），

413+

C113412+

C213411+…+

C12134=（4+1）¹³-1=5¹³-1

=（6-1）¹³-1=6¹³-

C1136¹²+…+

C1213•6-1-1，

上式显然前13项均为6的倍数，则余数为a=-2+6=4．

故有n=9，a=4；

（2）(x2+

a

x)n二项展开式即为（x²+[4/x]）⁹的通项公式为：

T_r+1=

Cr9(x2)9−r(

4

x)r（r=0，1，2，…，9）

由二项式系数的性质可得，二项式系数最大的项为：

T₅=

C49(x2)5(

4

x)4=32256x⁶，T₆=

C59(x2)4(

4

x)5=129024x³；

（3）函数F（x）=（x²+[4/x]）⁵+（[1

x2+4x）⁵=（x¹⁰+

1

x10）+

C15•4（x⁷+

1

x7）+

C25•42•（x⁴+

1

x4）+

C35•43•（x+

1/x]）+

C45•44•（[1

x2+x²）+45•（

1

x5+x⁵），

由于y=xⁿ+

1

xn（n为正整数）在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，

则当x=1时，y取得最小值．

则F（x）在[

1/2]，1）上递减，在（1，2]上递增，

则F（1）最小，且为（1+4）⁵+（1+4）⁵=6250．

点评：

本题考点： 二项式定理的应用；二项式系数的性质．

考点点评： 本题考查二项式定理的运用：求某项的系数以及整除问题，考查函数的单调性及应用，考查二项式系数的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．