Question

已知函数f（x）的定义域是D={x∈R|x≠0}，对任意x1，x2∈D都有：f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且

Answer 1

解题思路：根据抽象函数“凑”的原则，结合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），分别令x₁=x₂=1，x₁=-1，x₂=1，求得f（-1）=0，令x₁=-1，易判断出f（-x₂）与f（x₂）的关系，再根据函数奇偶性的定义，令x₁＞1，当x＞1时f（x）＞0，我们易根据函数单调性的定义得到结论．即可得到答案．

令x₁=x₂=1，

∴f（1）=2f（1），

∴f（1）=0，

令x₁=-1，x₂=1

f（-1）=f（-1）+f（1），

∴f（-1）=0，

令x₁=-1，

∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）；

又∵f（-1）=0

∴f（-x₂）=f（x₂）

故f（x）是偶函数；

令x₁＞1，当x₂∈（0，+∞）时，x₁•x₂＞x₂

∵当x＞1时f（x）＞0

∴f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）＞f（x₂）．

故f（x）在（0，+∞）上是增函数．

故结论正确的序号是①．

故答案为：①

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明及抽象函数值，其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键．