解题思路:(Ⅰ)先判断RQ是线段FP的垂直平分线,从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线;
(Ⅱ)设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2),求出切线方程,从而可得x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根,进一步可得直线AB的方程,即可得到直线恒过定点(0,p);
(Ⅲ) 由(Ⅱ)的结论,设M(m,-p),A(x1,y1),B(x2,y2),且有x1+x2=2m,x1x2=-4p2,从而可得kMA=
y
1
+p
x
1
−m],kMB=
y
2
+p
x
2
−m
,由此可证直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列.
(Ⅰ)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,
∴RQ是线段FP的垂直平分线.---------------------------------------(2分)
∴|PQ|=|QF|.
∴动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为:x2=4py(p>0).--------------------(4分)
(Ⅱ)证明:设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2)
由x2=4py得y=
1
4px2,求导得y′=[1/2px.
∴两条切线方程为y−y1=
1
2px1(x−x1) ①
y−y2=
1
2px2(x−x2)②-------------------(6分)
对于方程①,代入点M(m,-p)得,−p−y1=
1
2px1(m−x1),
又y1=
1
4px12
∴−p−
1
4px12=
1
2px1(m−x1)
整理得:x12−2mx1−4p2=0
同理对方程②有x22−2mx2−4p2=0
即x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根.
∴x1+x2=2m,x1x2=-4p2③-----------------------(8分)
设直线AB的斜率为k,k=
y2−y1
x2−x1]=[1/4p(x1+x2)
所以直线AB的方程为y−
1
4px12=
1
4p(x1+x2)(x−x1),展开得:y=
1
4p(x1+x2)x−
x1
点评:
本题考点: 与直线有关的动点轨迹方程;直线的斜率;恒过定点的直线.
考点点评: 本题考查抛物线的定义,考查直线恒过定点,考查直线的向量,解题的关键是正确运用韦达定理,属于中档题.
1年前
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