(2012•威海二模)如图,在平面直角坐标系xoy中,设点F(0,p)(p>0),直线l:y=-p,点p在直线l上移动,

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  • 解题思路:(Ⅰ)先判断RQ是线段FP的垂直平分线,从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线;

    (Ⅱ)设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2),求出切线方程,从而可得x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根,进一步可得直线AB的方程,即可得到直线恒过定点(0,p);

    (Ⅲ) 由(Ⅱ)的结论,设M(m,-p),A(x1,y1),B(x2,y2),且有x1+x2=2m,x1x2=-4p2,从而可得kMA=

    y

    1

    +p

    x

    1

    −m],kMB=

    y

    2

    +p

    x

    2

    −m

    ,由此可证直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列.

    (Ⅰ)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,

    ∴RQ是线段FP的垂直平分线.---------------------------------------(2分)

    ∴|PQ|=|QF|.

    ∴动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为:x2=4py(p>0).--------------------(4分)

    (Ⅱ)证明:设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2

    由x2=4py得y=

    1

    4px2,求导得y′=[1/2px.

    ∴两条切线方程为y−y1=

    1

    2px1(x−x1) ①

    y−y2=

    1

    2px2(x−x2)②-------------------(6分)

    对于方程①,代入点M(m,-p)得,−p−y1=

    1

    2px1(m−x1),

    又y1=

    1

    4px12

    ∴−p−

    1

    4px12=

    1

    2px1(m−x1)

    整理得:x12−2mx1−4p2=0

    同理对方程②有x22−2mx2−4p2=0

    即x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根.

    ∴x1+x2=2m,x1x2=-4p2③-----------------------(8分)

    设直线AB的斜率为k,k=

    y2−y1

    x2−x1]=[1/4p(x1+x2)

    所以直线AB的方程为y−

    1

    4px12=

    1

    4p(x1+x2)(x−x1),展开得:y=

    1

    4p(x1+x2)x−

    x1

    点评:

    本题考点: 与直线有关的动点轨迹方程;直线的斜率;恒过定点的直线.

    考点点评: 本题考查抛物线的定义,考查直线恒过定点,考查直线的向量,解题的关键是正确运用韦达定理,属于中档题.

    1年前

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