解题思路：（1）由二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，利用待定系数法即可求得b、c的值；
（2）由（1）可得此二次函数的解析式为：y=x2-2x-3，然后即可求得函数的顶点坐标，即可画出图象；
（3）由点A关于对称轴x=1的对称点是点B，连接BC交对称轴于点D，则可得点D即为所求，然后设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，则可求得点D的坐标．
（1）把A（-1，0）和B（3，0）代入y=x2+bx+c得：
(−1)2−b+c＝0
32+3b+c＝0.
解得
b＝−2
c＝−3，
所以b=-2，c=-3．（3分）
（2）由（1）可得：此二次函数的解析式为：y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为（1，-4），C（0，-3），
∴图象如图所示；（5分）
（3）点A关于对称轴x=1的对称点是点B，连接BC交对称轴于点D，则点D即为所求，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0）、C（0，-3）代入解析式得
3k+b＝0
b＝−3，
解得：
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象的画法以及距离之和最短问题．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．注意解决距离之和最短问题是找到所要求的点的位置．