已知f(2x+1)=8x+74x2+4x+2,求f(x)的值域.

2个回答

  • 解题思路:先利用配凑法求出函数的解析式,然后求出导函数,求出f′(x)=0的值,再讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值,从而求出函数的值域.

    ∵f(2x+1)=

    8x+7

    4x2+4x+2,

    ∴f(2x+1)=

    4(2x+1)+3

    (2x+1)2+1

    即f(x)=[4x+3

    x2+1

    令f'(x)=

    -2(x+2)(2x-1)

    (x2+1)2=0

    解得x=-2或

    1/2]

    当x∈(-∞,-2)时f'(x)=

    -2(x+2)(2x-1)

    (x2+1)2<0

    当x∈(-2,[1/2])时f'(x)=

    -2(x+2)(2x-1)

    (x2+1)2>0

    x∈([1/2],+∞)时f'(x)=

    -2(x+2)(2x-1)

    (x2+1)2<0

    ∴当x=-2时函数取最小值-1,当x=[1/2]时函数有最大值4.

    故函数的值域为[-1,4]

    点评:

    本题考点: 函数的值域.

    考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的值域,关于函数的值域的求解最近几年有所弱化,本题属于基础题.