解题思路:先利用配凑法求出函数的解析式,然后求出导函数,求出f′(x)=0的值,再讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值,从而求出函数的值域.
∵f(2x+1)=
8x+7
4x2+4x+2,
∴f(2x+1)=
4(2x+1)+3
(2x+1)2+1
即f(x)=[4x+3
x2+1
令f'(x)=
-2(x+2)(2x-1)
(x2+1)2=0
解得x=-2或
1/2]
当x∈(-∞,-2)时f'(x)=
-2(x+2)(2x-1)
(x2+1)2<0
当x∈(-2,[1/2])时f'(x)=
-2(x+2)(2x-1)
(x2+1)2>0
x∈([1/2],+∞)时f'(x)=
-2(x+2)(2x-1)
(x2+1)2<0
∴当x=-2时函数取最小值-1,当x=[1/2]时函数有最大值4.
故函数的值域为[-1,4]
点评:
本题考点: 函数的值域.
考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的值域,关于函数的值域的求解最近几年有所弱化,本题属于基础题.