Question

圆台一个底面半径是另一个底面半径的2倍,而侧面积等于两底面积的和,轴截面的面积是36,求圆台的体积

Answer 1

延长侧面,使之成为一个小圆锥,设小圆半径为r,大圆半径为R,圆台母线长为L,小圆锥母线长为l,

r/R=l/(l+L),

∵R=2r,

∴l=L,

圆台侧面积S(侧)=2πR(l+L)/2-2πrl/2=π(2rl+2rL-rl)=3πrl,

上下底面积S(底)=π*(2r)^2+πr^2=5πr^2,

因侧面积等于两底面积的和,

∴3πrl=5πr^2,

3l=5r,

∴l=5r/3,(1)

设圆台高h,

轴截面积=(2r+4r)*h/2=36,

3rh=36,

rh=12,

h=12/r,(2)

根据勾股定理,(2r-r)^2+h^2=L^2=l^2,

r^2+h^2=l^2,(3),

以上三式联立,

r^2+144/r^2=(5r/3)^2,

r^4=81,

r=3,

R=6,

h=12/3=4,

∴圆台体积V=(πh/3)[r^2+r*(2r)+(2r)^2]=84π.